Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (tan(x))^5
Интеграл 1/((sin(x))^4+(cos(x))^4)
Интеграл 1/(sqrt(1-2*x-x^2))
Интеграл (cos(2*x))^3*(sin(2*x))^4
Идентичные выражения
((x+ два)^ два)*cos(три *x)
((x плюс 2) в квадрате ) умножить на косинус от (3 умножить на x)
((x плюс два) в степени два) умножить на косинус от (три умножить на x)
((x+2)2)*cos(3*x)
x+22*cos3*x
((x+2)²)*cos(3*x)
((x+2) в степени 2)*cos(3*x)
((x+2)^2)cos(3x)
((x+2)2)cos(3x)
x+22cos3x
x+2^2cos3x
((x+2)^2)*cos(3*x)dx
Похожие выражения
(x+2)^2*cos(3*x)*dx
((x-2)^2)*cos(3*x)

Решение интегралов/ ((x+2)^2)*cos(3*x)

Интеграл ((x+2)^2)cos(3x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                     
  /                     
 |                      
 |         2            
 |  (x + 2) *cos(3*x) dx
 |                      
/                       
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(x + 2\right)^{2} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(x + 2\right)^{2} \cos{\left(3 x \right)} = x^{2} \cos{\left(3 x \right)} + 4 x \cos{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{9}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{9}$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{27}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 4 x \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int x \cos{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$
      
      пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 4 \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 x \cos{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{34 \sin{\left(3 x \right)}}{27} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}$
Метод #2
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = x^{2} + 4 x + 4$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x + 4$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
  Теперь решаем под-интеграл.
3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{9}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{9}$
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{27}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(x + 2\right)^{2} \cos{\left(3 x \right)} = x^{2} \cos{\left(3 x \right)} + 4 x \cos{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{9}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{9}$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{27}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 4 x \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int x \cos{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$
      
      пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 4 \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 x \cos{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{34 \sin{\left(3 x \right)}}{27} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 x \cos{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{34 \sin{\left(3 x \right)}}{27} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 x \cos{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{34 \sin{\left(3 x \right)}}{27} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                                               
 |                                                        2                                       
 |        2                   4*cos(3*x)   34*sin(3*x)   x *sin(3*x)   2*x*cos(3*x)   4*x*sin(3*x)
 | (x + 2) *cos(3*x) dx = C + ---------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------
 |                                9             27            3             9              3      
/

$${{{{\left(9\,x^2-2\right)\,\sin \left(3\,x\right)+6\,x\,\cos \left( 3\,x\right)}\over{9}}+{{4\,\left(3\,x\,\sin \left(3\,x\right)+\cos \left(3\,x\right)\right)}\over{3}}+4\,\sin \left(3\,x\right)}\over{3 }}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

  4   2*cos(3)   79*sin(3)
- - + -------- + ---------
  9      3           27

$${{79\,\sin 3+18\,\cos 3}\over{27}}-{{4}\over{9}}$$

  4   2*cos(3)   79*sin(3)
- - + -------- + ---------
  9      3           27

$$\frac{2 \cos{\left(3 \right)}}{3} - \frac{4}{9} + \frac{79 \sin{\left(3 \right)}}{27}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-0.691532751928834

-0.691532751928834

График

$Интеграл ((x+2)^2)*cos(3*x) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл ((x+2)^2)cos(3x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3