Интеграл (x-atan(x))/x^3 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{3}}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{2 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}\, dx}{2}$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2}}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

                  1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

               1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

               Результат есть: $- \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{1}{x}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{x^{4} + x^{2}}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x^{4} + x^{2}} = - \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2}}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

                  1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

               1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

               Результат есть: $- \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{1}{x}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2 x}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2 x} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2}}$

   Результат есть: $\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2 x} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2}}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2}}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$