Интеграл 3^(4*x-1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x - 1$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{3^{u}}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3^{u}}{4}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{4}$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3^{u}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{3^{4 x - 1}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $3^{4 x - 1} = \frac{3^{4 x}}{3}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{3^{4 x}}{3}\, dx = \frac{\int 3^{4 x}\, dx}{3}$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{3^{u}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3^{u}}{4}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{4}$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3^{u}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{3^{4 x}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $3^{4 x - 1} = \frac{3^{4 x}}{3}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{3^{4 x}}{3}\, dx = \frac{\int 3^{4 x}\, dx}{3}$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{3^{u}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3^{u}}{4}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{4}$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3^{u}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{3^{4 x}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left(3 \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$