Интеграл (3*x+7)^5 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 7$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{5}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{5}}{3}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{6}}{18}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(3 x + 7\right)^{6}}{18}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 7\right)^{5} = 243 x^{5} + 2835 x^{4} + 13230 x^{3} + 30870 x^{2} + 36015 x + 16807$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 243 x^{5}\, dx = 243 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{81 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2835 x^{4}\, dx = 2835 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $567 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 13230 x^{3}\, dx = 13230 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{6615 x^{4}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 30870 x^{2}\, dx = 30870 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $10290 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 36015 x\, dx = 36015 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{36015 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 16807\, dx = 16807 x$

      Результат есть: $\frac{81 x^{6}}{2} + 567 x^{5} + \frac{6615 x^{4}}{2} + 10290 x^{3} + \frac{36015 x^{2}}{2} + 16807 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(3 x + 7\right)^{6}}{18}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(3 x + 7\right)^{6}}{18}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(3 x + 7\right)^{6}}{18}+ \mathrm{constant}$