Интеграл (tan(x)+cot(x))^2 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(\tan{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)}\right)^{2} = \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan^{2}{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(x \right)} - 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      Результат есть: $- x + \tan{\left(x \right)}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $x$

      Таким образом, результат будет: $2 x$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $- x - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

   Результат есть: $\tan{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

3. Теперь упростить:

   $\tan{\left(x \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\tan{\left(x \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\tan{\left(x \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$