Интеграл sin(6*x)*sin(3*x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \sin{\left(2 u \right)}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(2 u \right)} \sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(2 u \right)} \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. пусть $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{9}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(6 x \right)} = - 128 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 224 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 120 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 18 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 128 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 128 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{8}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{128 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 224 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 224 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $32 \sin^{7}{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 120 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 120 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- 24 \sin^{5}{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 18 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 18 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $6 \sin^{3}{\left(x \right)}$

      Результат есть: $- \frac{128 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} + 32 \sin^{7}{\left(x \right)} - 24 \sin^{5}{\left(x \right)} + 6 \sin^{3}{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$