Интеграл tan(4*x)^(5) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |     5        
 |  tan (4*x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} \tan^{5}{\left(4 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\tan^{5}{\left(4 x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(4 x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \sec^{2}{\left(4 x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = 8 \tan{\left(4 x \right)} \sec^{2}{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
  
  $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{64 u}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{8 u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Результат есть: $\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{16} - \frac{u}{4} + \frac{\log{\left(u \right)}}{8}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} \right)}}{8} + \frac{\sec^{4}{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{4}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(4 x \right)} = \tan{\left(4 x \right)} \sec^{4}{\left(4 x \right)} - 2 \tan{\left(4 x \right)} \sec^{2}{\left(4 x \right)} + \tan{\left(4 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \sec^{4}{\left(4 x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = 16 \tan{\left(4 x \right)} \sec^{4}{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{16}$ :
    
    $\int \frac{1}{256}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{\int 1\, du}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{16}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sec^{4}{\left(4 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \tan{\left(4 x \right)} \sec^{2}{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(4 x \right)} \sec^{2}{\left(4 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sec^{2}{\left(4 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 \tan{\left(4 x \right)} \sec^{2}{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{1}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{\int 1\, du}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{8}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{4}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\tan{\left(4 x \right)} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}}$
  2. пусть $u = \cos{\left(4 x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$ :
    
    $\int \frac{1}{16 u}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4}$
  Результат есть: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4} + \frac{\sec^{4}{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{4}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(4 x \right)} = \tan{\left(4 x \right)} \sec^{4}{\left(4 x \right)} - 2 \tan{\left(4 x \right)} \sec^{2}{\left(4 x \right)} + \tan{\left(4 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \sec^{4}{\left(4 x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = 16 \tan{\left(4 x \right)} \sec^{4}{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{16}$ :
    
    $\int \frac{1}{256}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{\int 1\, du}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{16}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sec^{4}{\left(4 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \tan{\left(4 x \right)} \sec^{2}{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(4 x \right)} \sec^{2}{\left(4 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sec^{2}{\left(4 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 \tan{\left(4 x \right)} \sec^{2}{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{1}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{\int 1\, du}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{8}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{4}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\tan{\left(4 x \right)} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}}$
  2. пусть $u = \cos{\left(4 x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$ :
    
    $\int \frac{1}{16 u}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4}$
  Результат есть: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4} + \frac{\sec^{4}{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{4}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} \right)}}{8} + \frac{\sec^{4}{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(4 x \right)} \right)}}{8} + \frac{\sec^{4}{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\sec^{2}{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                         
 |                       2           /   2     \      4     
 |    5               sec (4*x)   log\sec (4*x)/   sec (4*x)
 | tan (4*x) dx = C - --------- + -------------- + ---------
 |                        4             8              16   
/

$${{{{4\,\sin ^2\left(4\,x\right)-3}\over{4\,\sin ^4\left(4\,x\right) -8\,\sin ^2\left(4\,x\right)+4}}-{{\log \left(\sin ^2\left(4\,x \right)-1\right)}\over{2}}}\over{4}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

nan

$${{-{{\log \left(1-\sin ^24\right)}\over{2}}-{{3}\over{4\,\sin ^44-8 \,\sin ^24+4}}+{{\sin ^24}\over{\sin ^44-2\,\sin ^24+1}}+{{3}\over{4 }}}\over{4}}$$

nan

$$\text{NaN}$$

Упростить

Численный ответ [src]

741975584.422214

741975584.422214

График

$Интеграл tan(4*x)^(5) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл tan(4*x)^(5) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3