Интеграл t*cos(t)*dt d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(t \right)} = t$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(t \right)}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

   $\int \sin{\left(t \right)}\, dt = - \cos{\left(t \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $t \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$t \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}$