Интеграл x^3*atan(x)*dx d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{4}}{4 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{4}}{x^{2} + 1}\, dx}{4}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{4}}{x^{2} + 1} = x^{2} - 1 + \frac{1}{x^{2} + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

      Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{3}}{12} - \frac{x}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{4} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{3}}{12} + \frac{x}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{4} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{3}}{12} + \frac{x}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$