Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл cos(x)/(1+sin(x))
Интеграл acos(x)^(2)
Интеграл (2*x^2+41*x-91)/((x-1)*(x+3)*(x-4))
Интеграл 1/sqrt(3-2*x-x^2)
Идентичные выражения
(t)*(e^x- один)^ два
(t) умножить на (e в степени x минус 1) в квадрате
(t) умножить на (e в степени x минус один) в степени два
(t)*(ex-1)2
t*ex-12
(t)*(e^x-1)²
(t)*(e в степени x-1) в степени 2
(t)(e^x-1)^2
(t)(ex-1)2
tex-12
te^x-1^2
(t)*(e^x-1)^2dx
Похожие выражения
(t)*(e^x+1)^2

Интеграл (t)*(e^x-1)^2 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1               
  /               
 |                
 |            2   
 |    / x    \    
 |  t*\e  - 1/  dx
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} t \left(e^{x} - 1\right)^{2}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

$\int t \left(e^{x} - 1\right)^{2}\, dx = t \int \left(e^{x} - 1\right)^{2}\, dx$
1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
  Метод #1
  1. пусть $u = e^{x}$ .
    
    Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Результат есть: $\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}$
  Метод #2
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(e^{x} - 1\right)^{2} = e^{2 x} - 2 e^{x} + 1$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 x}}{2}$
      
      Метод #2
      
      пусть $u = e^{2 x}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 e^{2 x} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 x}}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 2 e^{x}\right)\, dx = - 2 \int e^{x}\, dx$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$
      
      Таким образом, результат будет: $- 2 e^{x}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, dx = x$
    Результат есть: $x + \frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x}$
  Метод #3
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(e^{x} - 1\right)^{2} = e^{2 x} - 2 e^{x} + 1$
  2. Интегрируем почленно:
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 x}}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 2 e^{x}\right)\, dx = - 2 \int e^{x}\, dx$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$
      
      Таким образом, результат будет: $- 2 e^{x}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, dx = x$
    Результат есть: $x + \frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x}$
Таким образом, результат будет: $t \left(\frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}\right)$
Теперь упростить:

$\frac{t \left(e^{2 x} - 4 e^{x} + 2 \log{\left(e^{x} \right)}\right)}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{t \left(e^{2 x} - 4 e^{x} + 2 \log{\left(e^{x} \right)}\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{t \left(e^{2 x} - 4 e^{x} + 2 \log{\left(e^{x} \right)}\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                              
 |                                               
 |           2            / 2*x                 \
 |   / x    \             |e         x      / x\|
 | t*\e  - 1/  dx = C + t*|---- - 2*e  + log\e /|
 |                        \ 2                   /
/

$$t\,\left({{e^{2\,x}}\over{2}}-2\,e^{x}+x\right)$$

Упростить

Ответ [src]

         2        
5*t   t*e         
--- + ---- - 2*e*t
 2     2

$$\left({{e^2-4\,e+2}\over{2}}+{{3}\over{2}}\right)\,t$$

         2        
5*t   t*e         
--- + ---- - 2*e*t
 2     2

$$- 2 e t + \frac{5 t}{2} + \frac{t e^{2}}{2}$$

Упростить

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (t)*(e^x-1)^2 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #1

Метод #2

Метод #3