Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (tan(x))^5
Интеграл 1/((sin(x))^4+(cos(x))^4)
Интеграл 1/(sqrt(1-2*x-x^2))
Интеграл (cos(2*x))^3*(sin(2*x))^4
Идентичные выражения
(sin(x))^ шесть *(cos(x))^ два
( синус от (x)) в степени 6 умножить на ( косинус от (x)) в квадрате
( синус от (x)) в степени шесть умножить на ( косинус от (x)) в степени два
(sin(x))6*(cos(x))2
sinx6*cosx2
(sin(x))⁶*(cos(x))²
(sin(x)) в степени 6*(cos(x)) в степени 2
(sin(x))^6(cos(x))^2
(sin(x))6(cos(x))2
sinx6cosx2
sinx^6cosx^2
(sin(x))^6*(cos(x))^2dx
Похожие выражения
2^8*sin(x)^(6)*cos(x)^(2)
sin(x)^(6)*cos(x)^(2)
(sinx)^6*(cosx)^2

Решение интегралов/ (sin(x))^6*(cos(x))^2

Интеграл (sin(x))^6*(cos(x))^2 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                   
  /                   
 |                    
 |     6       2      
 |  sin (x)*cos (x) dx
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = 2 x$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{32} + \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{32}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{32}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{4}{\left(u \right)}\, du}{32}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{4}{\left(u \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
      
      Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 4 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 u}{8} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$
      
      Метод #2
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 4 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 u}{8} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{3 u}{256} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{1024}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{32}\, du = \frac{u}{32}$
    Результат есть: $\frac{5 u}{256} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{1024} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = - \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{16}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
    2. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
    3. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x}{128} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
    2. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$
  Результат есть: $\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = - \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{16}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
    2. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
    3. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x}{128} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
    2. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$
  Результат есть: $\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                              
 |                             3                                 
 |    6       2             sin (2*x)   sin(4*x)   sin(8*x)   5*x
 | sin (x)*cos (x) dx = C - --------- - -------- - -------- + ---
 |                              48        128        1024     128
/

$${{{{4\,x-{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}}\over{64}}+{{2\,x-{{ \sin \left(4\,x\right)}\over{2}}}\over{8}}-{{\sin ^3\left(2\,x \right)}\over{6}}}\over{8}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                             3                5                7          
 5    5*cos(1)*sin(1)   5*sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
--- - --------------- - ---------------- - -------------- + --------------
128         128               192                48               8

$$-{{3\,\sin 8+24\,\sin 4+64\,\sin ^32-120}\over{3072}}$$

                             3                5                7          
 5    5*cos(1)*sin(1)   5*sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
--- - --------------- - ---------------- - -------------- + --------------
128         128               192                48               8

$$- \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{128} - \frac{5 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{192} - \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{48} + \frac{\sin^{7}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} + \frac{5}{128}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0283457879846044

0.0283457879846044

График

$Интеграл (sin(x))^6*(cos(x))^2 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (sin(x))^6*(cos(x))^2 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Метод #3