Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл cos(x)^8
Интеграл 1/sqrt(1-x)^3
Интеграл 4/x^2
Интеграл 1/sin(x)^(22)
Идентичные выражения
два ^ восемь *sin(x)^ шесть *cos(x)^ два
2 в степени 8 умножить на синус от (x) в степени 6 умножить на косинус от (x) в квадрате
два в степени восемь умножить на синус от (x) в степени шесть умножить на косинус от (x) в степени два
28*sin(x)6*cos(x)2
28*sinx6*cosx2
2⁸*sin(x)⁶*cos(x)²
2 в степени 8*sin(x) в степени 6*cos(x) в степени 2
2^8sin(x)^6cos(x)^2
28sin(x)6cos(x)2
28sinx6cosx2
2^8sinx^6cosx^2
2^8*sin(x)^6*cos(x)^2dx
Похожие выражения
2^8*sin(x)^(6)*cos(x)^(2)
2^8*sinx^6*cosx^2

Решение интегралов/ 2^8*sin(x)^6*cos(x)^2

Интеграл 2^8sin(x)^6cos(x)^2 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                      
  /                      
 |                       
 |   8    6       2      
 |  2 *sin (x)*cos (x) dx
 |                       
/                        
0

$$\int\limits_{0}^{1} 2^{8} \sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

$\int 2^{8} \sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 256 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$
2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
  Метод #1
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{32} + \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{32}\right)\, du$
    1. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{32}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{4}{\left(u \right)}\, du}{32}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{4}{\left(u \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
      
      Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 4 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 u}{8} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$
      
      Метод #2
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 4 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 u}{8} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{3 u}{256} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{1024}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{32}\, du = \frac{u}{32}$
      
      Результат есть: $\frac{5 u}{256} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{1024} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
  Метод #2
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = - \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{16}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x}{128} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
      
      пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$
    Результат есть: $\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
  Метод #3
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = - \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{16}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x}{128} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
      
      пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$
    Результат есть: $\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
Таким образом, результат будет: $10 x - \frac{16 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 2 \sin{\left(4 x \right)} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$10 x - \frac{16 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 2 \sin{\left(4 x \right)} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$10 x - \frac{16 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 2 \sin{\left(4 x \right)} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                       
 |                                                       3                
 |  8    6       2                                 16*sin (2*x)   sin(8*x)
 | 2 *sin (x)*cos (x) dx = C - 2*sin(4*x) + 10*x - ------------ - --------
 |                                                      3            4    
/

$$32\,\left({{4\,x-{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}}\over{64}}+{{2 \,x-{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}}\over{8}}-{{\sin ^3\left(2\,x \right)}\over{6}}\right)$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                                                  3                   5          
                              7             20*sin (1)*cos(1)   16*sin (1)*cos(1)
10 - 10*cos(1)*sin(1) + 32*sin (1)*cos(1) - ----------------- - -----------------
                                                    3                   3

$$-{{3\,\sin 8+24\,\sin 4+64\,\sin ^32-120}\over{12}}$$

                                                  3                   5          
                              7             20*sin (1)*cos(1)   16*sin (1)*cos(1)
10 - 10*cos(1)*sin(1) + 32*sin (1)*cos(1) - ----------------- - -----------------
                                                    3                   3

$$- 10 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - \frac{20 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{3} - \frac{16 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{3} + 32 \sin^{7}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 10$$

Упростить

Численный ответ [src]

7.25652172405872

7.25652172405872

График

$Интеграл 2^8*sin(x)^6*cos(x)^2 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл 2^8sin(x)^6cos(x)^2 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Метод #3