Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

$Найти интеграл от y = f({x}) = sin(x)^(7)*cos(x)^(2) dx (синус от (x) в степени (7) умножить на косинус от (x) в степени (2)) - с подробным решением [Есть ОТВЕТ!]$

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 1/cosh(x)
Интеграл 1/(sqrt(x^2+1))
Интеграл 1/(x*sqrt(1-log(x)^(2)))
Интеграл (x^2)*sin(2*x)
Идентичные выражения
sin(x)^(семь)*cos(x)^(два)
синус от (x) в степени (7) умножить на косинус от (x) в степени (2)
синус от (x) в степени (семь) умножить на косинус от (x) в степени (два)
sin(x)(7)*cos(x)(2)
sinx7*cosx2
sin(x)^(7)cos(x)^(2)
sin(x)(7)cos(x)(2)
sinx7cosx2
sinx^7cosx^2
sin(x)^(7)*cos(x)^(2)dx
Похожие выражения
sinx^(7)*cosx^(2)

Решение интегралов/ sin(x)^(7)*cos(x)^(2)

Интеграл sin(x)^(7)*cos(x)^(2) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                   
  /                   
 |                    
 |     7       2      
 |  sin (x)*cos (x) dx
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(u^{8} - 3 u^{6} + 3 u^{4} - u^{2}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 3 u^{6}\right)\, du = - 3 \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{3 u^{7}}{7}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 3 u^{4}\, du = 3 \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 u^{5}}{5}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
    Результат есть: $\frac{u^{9}}{9} - \frac{3 u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{3 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int u^{2}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{3 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int u^{2}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{3 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(35 \cos^{6}{\left(x \right)} - 135 \cos^{4}{\left(x \right)} + 189 \cos^{2}{\left(x \right)} - 105\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{315}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(35 \cos^{6}{\left(x \right)} - 135 \cos^{4}{\left(x \right)} + 189 \cos^{2}{\left(x \right)} - 105\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(35 \cos^{6}{\left(x \right)} - 135 \cos^{4}{\left(x \right)} + 189 \cos^{2}{\left(x \right)} - 105\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                  
 |                               7         3         9           5   
 |    7       2             3*cos (x)   cos (x)   cos (x)   3*cos (x)
 | sin (x)*cos (x) dx = C - --------- - ------- + ------- + ---------
 |                              7          3         9          5    
/

$${{35\,\cos ^9x-135\,\cos ^7x+189\,\cos ^5x-105\,\cos ^3x}\over{315 }}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

           7         3         9           5   
 16   3*cos (1)   cos (1)   cos (1)   3*cos (1)
--- - --------- - ------- + ------- + ---------
315       7          3         9          5

$${{35\,\cos ^91-135\,\cos ^71+189\,\cos ^51-105\,\cos ^31}\over{315 }}+{{16}\over{315}}$$

           7         3         9           5   
 16   3*cos (1)   cos (1)   cos (1)   3*cos (1)
--- - --------- - ------- + ------- + ---------
315       7          3         9          5

$$- \frac{\cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} - \frac{3 \cos^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{\cos^{9}{\left(1 \right)}}{9} + \frac{3 \cos^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \frac{16}{315}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0205197793427798

0.0205197793427798

График

$Интеграл sin(x)^(7)*cos(x)^(2) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл sin(x)^(7)*cos(x)^(2) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3