Интеграл sin(x)^(23)*dx d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1              
  /              
 |               
 |     23        
 |  sin  (x)*1 dx
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{23}{\left(x \right)} 1\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin^{23}{\left(x \right)} 1 = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{11} \sin{\left(x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{11} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{22}{\left(x \right)} + 11 \sin{\left(x \right)} \cos^{20}{\left(x \right)} - 55 \sin{\left(x \right)} \cos^{18}{\left(x \right)} + 165 \sin{\left(x \right)} \cos^{16}{\left(x \right)} - 330 \sin{\left(x \right)} \cos^{14}{\left(x \right)} + 462 \sin{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)} - 462 \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)} + 330 \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} - 165 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 55 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 11 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{22}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{22}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{22}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{22}\right)\, du = - \int u^{22}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{23}}{23}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{23}{\left(x \right)}}{23}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{23}{\left(x \right)}}{23}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 11 \sin{\left(x \right)} \cos^{20}{\left(x \right)}\, dx = 11 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{20}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{20}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{20}\right)\, du = - \int u^{20}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{21}}{21}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{21}{\left(x \right)}}{21}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{11 \cos^{21}{\left(x \right)}}{21}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 55 \sin{\left(x \right)} \cos^{18}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 55 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{18}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{18}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{18}\right)\, du = - \int u^{18}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{19}}{19}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{19}{\left(x \right)}}{19}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{55 \cos^{19}{\left(x \right)}}{19}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 165 \sin{\left(x \right)} \cos^{16}{\left(x \right)}\, dx = 165 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{16}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{16}\right)\, du = - \int u^{16}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{17}}{17}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{17}{\left(x \right)}}{17}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{165 \cos^{17}{\left(x \right)}}{17}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 330 \sin{\left(x \right)} \cos^{14}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 330 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{14}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{14}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{14}\right)\, du = - \int u^{14}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{15}}{15}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{15}{\left(x \right)}}{15}$
    Таким образом, результат будет: $22 \cos^{15}{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 462 \sin{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)}\, dx = 462 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{12}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{12}\right)\, du = - \int u^{12}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{13}}{13}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{13}{\left(x \right)}}{13}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{462 \cos^{13}{\left(x \right)}}{13}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 462 \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 462 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{10}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{10}\right)\, du = - \int u^{10}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{11}}{11}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11}$
    Таким образом, результат будет: $42 \cos^{11}{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 330 \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx = 330 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{110 \cos^{9}{\left(x \right)}}{3}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 165 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 165 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{165 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 55 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 55 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Таким образом, результат будет: $- 11 \cos^{5}{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 11 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 11 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{11 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  1. Интеграл от синуса есть минус косинус:
    
    $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
  Результат есть: $\frac{\cos^{23}{\left(x \right)}}{23} - \frac{11 \cos^{21}{\left(x \right)}}{21} + \frac{55 \cos^{19}{\left(x \right)}}{19} - \frac{165 \cos^{17}{\left(x \right)}}{17} + 22 \cos^{15}{\left(x \right)} - \frac{462 \cos^{13}{\left(x \right)}}{13} + 42 \cos^{11}{\left(x \right)} - \frac{110 \cos^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{165 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - 11 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{11 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{11} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{22}{\left(x \right)} + 11 \sin{\left(x \right)} \cos^{20}{\left(x \right)} - 55 \sin{\left(x \right)} \cos^{18}{\left(x \right)} + 165 \sin{\left(x \right)} \cos^{16}{\left(x \right)} - 330 \sin{\left(x \right)} \cos^{14}{\left(x \right)} + 462 \sin{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)} - 462 \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)} + 330 \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} - 165 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 55 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 11 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{22}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{22}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{22}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{22}\right)\, du = - \int u^{22}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{23}}{23}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{23}{\left(x \right)}}{23}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{23}{\left(x \right)}}{23}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 11 \sin{\left(x \right)} \cos^{20}{\left(x \right)}\, dx = 11 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{20}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{20}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{20}\right)\, du = - \int u^{20}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{21}}{21}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{21}{\left(x \right)}}{21}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{11 \cos^{21}{\left(x \right)}}{21}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 55 \sin{\left(x \right)} \cos^{18}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 55 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{18}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{18}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{18}\right)\, du = - \int u^{18}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{19}}{19}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{19}{\left(x \right)}}{19}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{55 \cos^{19}{\left(x \right)}}{19}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 165 \sin{\left(x \right)} \cos^{16}{\left(x \right)}\, dx = 165 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{16}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{16}\right)\, du = - \int u^{16}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{17}}{17}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{17}{\left(x \right)}}{17}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{165 \cos^{17}{\left(x \right)}}{17}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 330 \sin{\left(x \right)} \cos^{14}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 330 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{14}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{14}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{14}\right)\, du = - \int u^{14}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{15}}{15}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{15}{\left(x \right)}}{15}$
    Таким образом, результат будет: $22 \cos^{15}{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 462 \sin{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)}\, dx = 462 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{12}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{12}\right)\, du = - \int u^{12}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{13}}{13}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{13}{\left(x \right)}}{13}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{462 \cos^{13}{\left(x \right)}}{13}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 462 \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 462 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{10}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{10}\right)\, du = - \int u^{10}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{11}}{11}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11}$
    Таким образом, результат будет: $42 \cos^{11}{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 330 \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx = 330 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{110 \cos^{9}{\left(x \right)}}{3}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 165 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 165 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{165 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 55 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 55 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Таким образом, результат будет: $- 11 \cos^{5}{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 11 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 11 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{11 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  1. Интеграл от синуса есть минус косинус:
    
    $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
  Результат есть: $\frac{\cos^{23}{\left(x \right)}}{23} - \frac{11 \cos^{21}{\left(x \right)}}{21} + \frac{55 \cos^{19}{\left(x \right)}}{19} - \frac{165 \cos^{17}{\left(x \right)}}{17} + 22 \cos^{15}{\left(x \right)} - \frac{462 \cos^{13}{\left(x \right)}}{13} + 42 \cos^{11}{\left(x \right)} - \frac{110 \cos^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{165 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - 11 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{11 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(88179 \cos^{22}{\left(x \right)} - 1062347 \cos^{20}{\left(x \right)} + 5870865 \cos^{18}{\left(x \right)} - 19684665 \cos^{16}{\left(x \right)} + 44618574 \cos^{14}{\left(x \right)} - 72076158 \cos^{12}{\left(x \right)} + 85180914 \cos^{10}{\left(x \right)} - 74364290 \cos^{8}{\left(x \right)} + 47805615 \cos^{6}{\left(x \right)} - 22309287 \cos^{4}{\left(x \right)} + 7436429 \cos^{2}{\left(x \right)} - 2028117\right) \cos{\left(x \right)}}{2028117}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(88179 \cos^{22}{\left(x \right)} - 1062347 \cos^{20}{\left(x \right)} + 5870865 \cos^{18}{\left(x \right)} - 19684665 \cos^{16}{\left(x \right)} + 44618574 \cos^{14}{\left(x \right)} - 72076158 \cos^{12}{\left(x \right)} + 85180914 \cos^{10}{\left(x \right)} - 74364290 \cos^{8}{\left(x \right)} + 47805615 \cos^{6}{\left(x \right)} - 22309287 \cos^{4}{\left(x \right)} + 7436429 \cos^{2}{\left(x \right)} - 2028117\right) \cos{\left(x \right)}}{2028117}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(88179 \cos^{22}{\left(x \right)} - 1062347 \cos^{20}{\left(x \right)} + 5870865 \cos^{18}{\left(x \right)} - 19684665 \cos^{16}{\left(x \right)} + 44618574 \cos^{14}{\left(x \right)} - 72076158 \cos^{12}{\left(x \right)} + 85180914 \cos^{10}{\left(x \right)} - 74364290 \cos^{8}{\left(x \right)} + 47805615 \cos^{6}{\left(x \right)} - 22309287 \cos^{4}{\left(x \right)} + 7436429 \cos^{2}{\left(x \right)} - 2028117\right) \cos{\left(x \right)}}{2028117}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                                                                                                                                 
 |                                                                              13             17             9            21         23            3            19             7   
 |    23                              5            15            11      462*cos  (x)   165*cos  (x)   110*cos (x)   11*cos  (x)   cos  (x)   11*cos (x)   55*cos  (x)   165*cos (x)
 | sin  (x)*1 dx = C - cos(x) - 11*cos (x) + 22*cos  (x) + 42*cos  (x) - ------------ - ------------ - ----------- - ----------- + -------- + ---------- + ----------- + -----------
 |                                                                            13             17             3             21          23          3             19            7     
/

$${{88179\,\cos ^{23}x-1062347\,\cos ^{21}x+5870865\,\cos ^{19}x- 19684665\,\cos ^{17}x+44618574\,\cos ^{15}x-72076158\,\cos ^{13}x+ 85180914\,\cos ^{11}x-74364290\,\cos ^9x+47805615\,\cos ^7x-22309287 \,\cos ^5x+7436429\,\cos ^3x-2028117\,\cos x}\over{2028117}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                                                                   13             17             9            21         23            3            19             7   
 524288                  5            15            11      462*cos  (1)   165*cos  (1)   110*cos (1)   11*cos  (1)   cos  (1)   11*cos (1)   55*cos  (1)   165*cos (1)
------- - cos(1) - 11*cos (1) + 22*cos  (1) + 42*cos  (1) - ------------ - ------------ - ----------- - ----------- + -------- + ---------- + ----------- + -----------
2028117                                                          13             17             3             21          23          3             19            7

$${{88179\,\cos ^{23}1-1062347\,\cos ^{21}1+5870865\,\cos ^{19}1- 19684665\,\cos ^{17}1+44618574\,\cos ^{15}1-72076158\,\cos ^{13}1+ 85180914\,\cos ^{11}1-74364290\,\cos ^91+47805615\,\cos ^71-22309287 \,\cos ^51+7436429\,\cos ^31-2028117\,\cos 1}\over{2028117}}+{{ 524288}\over{2028117}}$$

                                                                   13             17             9            21         23            3            19             7   
 524288                  5            15            11      462*cos  (1)   165*cos  (1)   110*cos (1)   11*cos  (1)   cos  (1)   11*cos (1)   55*cos  (1)   165*cos (1)
------- - cos(1) - 11*cos (1) + 22*cos  (1) + 42*cos  (1) - ------------ - ------------ - ----------- - ----------- + -------- + ---------- + ----------- + -----------
2028117                                                          13             17             3             21          23          3             19            7

$$- \cos{\left(1 \right)} - 11 \cos^{5}{\left(1 \right)} - \frac{110 \cos^{9}{\left(1 \right)}}{3} - \frac{462 \cos^{13}{\left(1 \right)}}{13} - \frac{165 \cos^{17}{\left(1 \right)}}{17} - \frac{11 \cos^{21}{\left(1 \right)}}{21} + \frac{\cos^{23}{\left(1 \right)}}{23} + \frac{55 \cos^{19}{\left(1 \right)}}{19} + 22 \cos^{15}{\left(1 \right)} + 42 \cos^{11}{\left(1 \right)} + \frac{524288}{2028117} + \frac{165 \cos^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{11 \cos^{3}{\left(1 \right)}}{3}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.00113226705117183

0.00113226705117183

График

$Интеграл sin(x)^(23)*dx d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл sin(x)^(23)*dx d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2