Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

$Найти интеграл от y = f({x}) = (sin(x)*cos(x))/(1+sin(x)^(2)) dx ((синус от (x) умножить на косинус от (x)) делить на (1 плюс синус от (x) в степени (2))) - с подробным решением [Есть ОТВЕТ!]$

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл cos(x)/(1+sin(x))
Интеграл acos(x)^(2)
Интеграл (2*x^2+41*x-91)/((x-1)*(x+3)*(x-4))
Интеграл 1/sqrt(3-2*x-x^2)
Идентичные выражения
(sin(x)*cos(x))/(один +sin(x)^(два))
( синус от (x) умножить на косинус от (x)) делить на (1 плюс синус от (x) в степени (2))
( синус от (x) умножить на косинус от (x)) делить на (один плюс синус от (x) в степени (два))
(sin(x)*cos(x))/(1+sin(x)(2))
sinx*cosx/1+sinx2
(sin(x)cos(x))/(1+sin(x)^(2))
(sin(x)cos(x))/(1+sin(x)(2))
sinxcosx/1+sinx2
sinxcosx/1+sinx^2
(sin(x)*cos(x)) разделить на (1+sin(x)^(2))
(sin(x)*cos(x))/(1+sin(x)^(2))dx
Похожие выражения
(sin(x)*cos(x))/(1-sin(x)^(2))
(sinx*cosx)/(1+sinx^(2))

Решение интегралов/ (sin(x)*cos(x))/(1+sin(x)^(2))

Интеграл (sin(x)*cos(x))/(1+sin(x)^(2)) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                 
  /                 
 |                  
 |  sin(x)*cos(x)   
 |  ------------- dx
 |          2       
 |   1 + sin (x)    
 |                  
/                   
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$
    1. пусть $u = u^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$
Метод #2
1. пусть $u = \sin^{2}{\left(x \right)} + 1$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
  
  $\int \frac{1}{4 u}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
    1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$
Метод #3
1. пусть $u = \sin^{2}{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \frac{1}{2 u + 2}\, du$
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    
    пусть $u = 2 u + 2$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{1}{4 u}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\log{\left(2 u + 2 \right)}}{2}$
    Метод #2
    
    Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{2 u + 2} = \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$
    
    пусть $u = u + 1$ .
    
    Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\log{\left(u + 1 \right)}$
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\log{\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                       
 |                           /       2   \
 | sin(x)*cos(x)          log\1 + sin (x)/
 | ------------- dx = C + ----------------
 |         2                     2        
 |  1 + sin (x)                           
 |                                        
/

$${{\log \left(\sin ^2x+1\right)}\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

   /       2   \
log\1 + sin (1)/
----------------
       2

$${{\log \left(\sin ^21+1\right)}\over{2}}$$

   /       2   \
log\1 + sin (1)/
----------------
       2

$$\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.26768303969012

0.26768303969012

График

$Интеграл (sin(x)*cos(x))/(1+sin(x)^(2)) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (sin(x)*cos(x))/(1+sin(x)^(2)) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #1

Метод #2