Господин Экзамен

Другие калькуляторы


sin(x)*cos(2*x)

Интеграл sin(x)*cos(2*x) d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
  1                   
  /                   
 |                    
 |  sin(x)*cos(2*x) dx
 |                    
/                     
0                     
$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$$
Подробное решение
  1. Перепишите подынтегральное выражение:

  2. Интегрируем почленно:

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл есть когда :

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Таким образом, результат будет:

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      Таким образом, результат будет:

    Результат есть:

  3. Теперь упростить:

  4. Добавляем постоянную интегрирования:


Ответ:

Ответ (Неопределённый) [src]
  /                              3            
 |                          2*cos (x)         
 | sin(x)*cos(2*x) dx = C - --------- + cos(x)
 |                              3             
/                                             
$${{\cos x}\over{2}}-{{\cos \left(3\,x\right)}\over{6}}$$
График
Ответ [src]
  1   cos(1)*cos(2)   2*sin(1)*sin(2)
- - + ------------- + ---------------
  3         3                3       
$$-{{\cos 3-3\,\cos 1}\over{6}}-{{1}\over{3}}$$
=
=
  1   cos(1)*cos(2)   2*sin(1)*sin(2)
- - + ------------- + ---------------
  3         3                3       
$$- \frac{1}{3} + \frac{\cos{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)}}{3}$$
Численный ответ [src]
0.101816569034144
0.101816569034144
График
Интеграл sin(x)*cos(2*x) d{x}

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.