Интеграл sin(x)*cos(2*x) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $\cos{\left(x \right)}$

   Результат есть: $- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(2 - \cos{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{3}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(2 - \cos{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(2 - \cos{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$