Интеграл sin(x)-x*cos(x) d{x}

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- x \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Результат есть: $- x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$