Интеграл sin(log(x))*dx d{x}

1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

   $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

   1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

      1. Для подинтегрального выражения $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

         пусть $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Затем $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

      2. Для подинтегрального выражения $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

         пусть $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Затем $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

      3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

         $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

         Поэтому,

         $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$