Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (cos(4*x-5)+2*x^-7+3)
Интеграл (7*x-1)^23
Интеграл 1/2*e^x
Интеграл sin(4*x)*cos(4*x)
Идентичные выражения
(sin(два *x)-cos(два *x))^ два
( синус от (2 умножить на x) минус косинус от (2 умножить на x)) в квадрате
( синус от (два умножить на x) минус косинус от (два умножить на x)) в степени два
(sin(2*x)-cos(2*x))2
sin2*x-cos2*x2
(sin(2*x)-cos(2*x))²
(sin(2*x)-cos(2*x)) в степени 2
(sin(2x)-cos(2x))^2
(sin(2x)-cos(2x))2
sin2x-cos2x2
sin2x-cos2x^2
(sin(2*x)-cos(2*x))^2dx
Похожие выражения
(sin(2*x)+cos(2*x))^2

Решение интегралов/ (sin(2*x)-cos(2*x))^2

Интеграл (sin(2x)-cos(2x))^2 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                          
  /                          
 |                           
 |                       2   
 |  (sin(2*x) - cos(2*x))  dx
 |                           
/                            
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = \cos{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Метод #2
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{3}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Результат есть: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{2}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
  Результат есть: $x + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{2}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{2}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
  Результат есть: $x + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$x + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                             
 |                                        2     
 |                      2              cos (2*x)
 | (sin(2*x) - cos(2*x))  dx = C + x + ---------
 |                                         2    
/

$${{{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+2\,x}\over{4}}+{{2\,x-{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}}\over{4}}+{{\cos ^2\left(2\,x\right) }\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                     2   
  1      2      3*cos (2)
- - + sin (2) + ---------
  2                 2

$${{{{\sin 4+4}\over{4}}-{{\sin 4-4}\over{4}}+\cos ^22-1}\over{2}}$$

                     2   
  1      2      3*cos (2)
- - + sin (2) + ---------
  2                 2

$$- \frac{1}{2} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 \right)}}{2} + \sin^{2}{\left(2 \right)}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.586589094784097

0.586589094784097

График

$Интеграл (sin(2*x)-cos(2*x))^2 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (sin(2x)-cos(2x))^2 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2