Интеграл sin(4*x)*cos(4*x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left(4 x \right)}$.

      Тогда пусть $du = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u}{4}\, du = \frac{\int u\, du}{4}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}{8}$

   Метод #2

   1. пусть $u = 4 x$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

         1. пусть $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}$

   Метод #3

   1. пусть $u = \cos{\left(4 x \right)}$.

      Тогда пусть $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u}{4}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{4}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$