Интеграл sin(2*t) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 t$.

      Тогда пусть $du = 2 dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt = 2 \int \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \cos{\left(t \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ и подставим $- du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$

         Метод #2

         1. пусть $u = \sin{\left(t \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(t \right)} dt$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(t \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$