Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-192/x^4
2^(x^2)
x^3+8
sin(2*t)
sin(2*t)
График функции y = sin(2*t)
Решение
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось T при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(2 t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью T:
Аналитическое решение
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$t_{1} = -95.8185759344887$$
$$t_{2} = -89.5353906273091$$
$$t_{3} = 81.6814089933346$$
$$t_{4} = 56.5486677646163$$
$$t_{5} = -61.261056745001$$
$$t_{6} = 86.3937979737193$$
$$t_{7} = -23.5619449019235$$
$$t_{8} = 42.4115008234622$$
$$t_{9} = -75.398223686155$$
$$t_{10} = -31.4159265358979$$
$$t_{11} = 50.2654824574367$$
$$t_{12} = 0$$
$$t_{13} = -483.805268652828$$
$$t_{14} = 31.4159265358979$$
$$t_{15} = -94.2477796076938$$
$$t_{16} = 94.2477796076938$$
$$t_{17} = -7.85398163397448$$
$$t_{18} = -72.2566310325652$$
$$t_{19} = -39.2699081698724$$
$$t_{20} = -97.3893722612836$$
$$t_{21} = -67.5442420521806$$
$$t_{22} = -58.1194640914112$$
$$t_{23} = 92.6769832808989$$
$$t_{24} = -51.8362787842316$$
$$t_{25} = -21.9911485751286$$
$$t_{26} = 28.2743338823081$$
$$t_{27} = 45.553093477052$$
$$t_{28} = -83.2522053201295$$
$$t_{29} = -87.9645943005142$$
$$t_{30} = -29.845130209103$$
$$t_{31} = 73.8274273593601$$
$$t_{32} = -59.6902604182061$$
$$t_{33} = 20.4203522483337$$
$$t_{34} = -80.1106126665397$$
$$t_{35} = -65.9734457253857$$
$$t_{36} = 80.1106126665397$$
$$t_{37} = 29.845130209103$$
$$t_{38} = -1.5707963267949$$
$$t_{39} = -17.2787595947439$$
$$t_{40} = 36.1283155162826$$
$$t_{41} = 95.8185759344887$$
$$t_{42} = 15.707963267949$$
$$t_{43} = -119.380520836412$$
$$t_{44} = -50.2654824574367$$
$$t_{45} = -9.42477796076938$$
$$t_{46} = -64.4026493985908$$
$$t_{47} = 7.85398163397448$$
$$t_{48} = -43.9822971502571$$
$$t_{49} = 43.9822971502571$$
$$t_{50} = 34.5575191894877$$
$$t_{51} = -42.4115008234622$$
$$t_{52} = 113.097335529233$$
$$t_{53} = -45.553093477052$$
$$t_{54} = -37.6991118430775$$
$$t_{55} = 37.6991118430775$$
$$t_{56} = 4.71238898038469$$
$$t_{57} = -81.6814089933346$$
$$t_{58} = -73.8274273593601$$
$$t_{59} = 26.7035375555132$$
$$t_{60} = 72.2566310325652$$
$$t_{61} = 14.1371669411541$$
$$t_{62} = -14.1371669411541$$
$$t_{63} = -48.6946861306418$$
$$t_{64} = 64.4026493985908$$
$$t_{65} = 6.28318530717959$$
$$t_{66} = -53.4070751110265$$
$$t_{67} = -28.2743338823081$$
$$t_{68} = 78.5398163397448$$
$$t_{69} = 21.9911485751286$$
$$t_{70} = 89.5353906273091$$
$$t_{71} = -15.707963267949$$
$$t_{72} = 1.5707963267949$$
$$t_{73} = 58.1194640914112$$
$$t_{74} = -40.8407044966673$$
$$t_{75} = 590.619418874881$$
$$t_{76} = -86.3937979737193$$
$$t_{77} = 87.9645943005142$$
$$t_{78} = 23.5619449019235$$
$$t_{79} = -20.4203522483337$$
$$t_{80} = -36.1283155162826$$
$$t_{81} = 65.9734457253857$$
$$t_{82} = 70.6858347057703$$
$$t_{83} = 51.8362787842316$$
$$t_{84} = 67.5442420521806$$
$$t_{85} = 59.6902604182061$$
$$t_{86} = 48.6946861306418$$
$$t_{87} = 100.530964914873$$
$$t_{88} = -6.28318530717959$$
$$t_{89} = 12.5663706143592$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(2 t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью T:
Аналитическое решение
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$t_{1} = -95.8185759344887$$
$$t_{2} = -89.5353906273091$$
$$t_{3} = 81.6814089933346$$
$$t_{4} = 56.5486677646163$$
$$t_{5} = -61.261056745001$$
$$t_{6} = 86.3937979737193$$
$$t_{7} = -23.5619449019235$$
$$t_{8} = 42.4115008234622$$
$$t_{9} = -75.398223686155$$
$$t_{10} = -31.4159265358979$$
$$t_{11} = 50.2654824574367$$
$$t_{12} = 0$$
$$t_{13} = -483.805268652828$$
$$t_{14} = 31.4159265358979$$
$$t_{15} = -94.2477796076938$$
$$t_{16} = 94.2477796076938$$
$$t_{17} = -7.85398163397448$$
$$t_{18} = -72.2566310325652$$
$$t_{19} = -39.2699081698724$$
$$t_{20} = -97.3893722612836$$
$$t_{21} = -67.5442420521806$$
$$t_{22} = -58.1194640914112$$
$$t_{23} = 92.6769832808989$$
$$t_{24} = -51.8362787842316$$
$$t_{25} = -21.9911485751286$$
$$t_{26} = 28.2743338823081$$
$$t_{27} = 45.553093477052$$
$$t_{28} = -83.2522053201295$$
$$t_{29} = -87.9645943005142$$
$$t_{30} = -29.845130209103$$
$$t_{31} = 73.8274273593601$$
$$t_{32} = -59.6902604182061$$
$$t_{33} = 20.4203522483337$$
$$t_{34} = -80.1106126665397$$
$$t_{35} = -65.9734457253857$$
$$t_{36} = 80.1106126665397$$
$$t_{37} = 29.845130209103$$
$$t_{38} = -1.5707963267949$$
$$t_{39} = -17.2787595947439$$
$$t_{40} = 36.1283155162826$$
$$t_{41} = 95.8185759344887$$
$$t_{42} = 15.707963267949$$
$$t_{43} = -119.380520836412$$
$$t_{44} = -50.2654824574367$$
$$t_{45} = -9.42477796076938$$
$$t_{46} = -64.4026493985908$$
$$t_{47} = 7.85398163397448$$
$$t_{48} = -43.9822971502571$$
$$t_{49} = 43.9822971502571$$
$$t_{50} = 34.5575191894877$$
$$t_{51} = -42.4115008234622$$
$$t_{52} = 113.097335529233$$
$$t_{53} = -45.553093477052$$
$$t_{54} = -37.6991118430775$$
$$t_{55} = 37.6991118430775$$
$$t_{56} = 4.71238898038469$$
$$t_{57} = -81.6814089933346$$
$$t_{58} = -73.8274273593601$$
$$t_{59} = 26.7035375555132$$
$$t_{60} = 72.2566310325652$$
$$t_{61} = 14.1371669411541$$
$$t_{62} = -14.1371669411541$$
$$t_{63} = -48.6946861306418$$
$$t_{64} = 64.4026493985908$$
$$t_{65} = 6.28318530717959$$
$$t_{66} = -53.4070751110265$$
$$t_{67} = -28.2743338823081$$
$$t_{68} = 78.5398163397448$$
$$t_{69} = 21.9911485751286$$
$$t_{70} = 89.5353906273091$$
$$t_{71} = -15.707963267949$$
$$t_{72} = 1.5707963267949$$
$$t_{73} = 58.1194640914112$$
$$t_{74} = -40.8407044966673$$
$$t_{75} = 590.619418874881$$
$$t_{76} = -86.3937979737193$$
$$t_{77} = 87.9645943005142$$
$$t_{78} = 23.5619449019235$$
$$t_{79} = -20.4203522483337$$
$$t_{80} = -36.1283155162826$$
$$t_{81} = 65.9734457253857$$
$$t_{82} = 70.6858347057703$$
$$t_{83} = 51.8362787842316$$
$$t_{84} = 67.5442420521806$$
$$t_{85} = 59.6902604182061$$
$$t_{86} = 48.6946861306418$$
$$t_{87} = 100.530964914873$$
$$t_{88} = -6.28318530717959$$
$$t_{89} = 12.5663706143592$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
первая производная
$$2 \cos{\left(2 t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$t_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$t_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$t_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
первая производная
$$2 \cos{\left(2 t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$t_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
pi (--, 1) 4
3*pi (----, -1) 4
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$t_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$t_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
вторая производная
$$- 4 \sin{\left(2 t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
вторая производная
$$- 4 \sin{\left(2 t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при t->+oo и t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty} \sin{\left(2 t \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty} \sin{\left(2 t \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{t \to -\infty} \sin{\left(2 t \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty} \sin{\left(2 t \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*t), делённой на t при t->+oo и t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{t}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{t}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{t}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{t}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-t) и f = -f(-t).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(2 t \right)} = - \sin{\left(2 t \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(2 t \right)} = \sin{\left(2 t \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(2 t \right)} = - \sin{\left(2 t \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(2 t \right)} = \sin{\left(2 t \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График