Интеграл sin(4*x)^(3) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{3}{\left(4 x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) \sin{\left(4 x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left(4 x \right)}$.

      Тогда пусть $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(\frac{u^{2}}{4} - \frac{1}{4}\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u^{2}}{4}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{4}$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{12}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \left(- \frac{1}{4}\right)\, du = - \frac{u}{4}$

         Результат есть: $\frac{u^{3}}{12} - \frac{u}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) \sin{\left(4 x \right)} = - \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(4 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

            $\int \frac{u^{2}}{16}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$

      Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) \sin{\left(4 x \right)} = - \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(4 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

            $\int \frac{u^{2}}{16}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$

      Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(\cos^{2}{\left(4 x \right)} - 3\right) \cos{\left(4 x \right)}}{12}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(\cos^{2}{\left(4 x \right)} - 3\right) \cos{\left(4 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(\cos^{2}{\left(4 x \right)} - 3\right) \cos{\left(4 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$