Интеграл (6-7*x)^5 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 6 - 7 x$.

      Тогда пусть $du = - 7 dx$ и подставим $- \frac{du}{7}$:

      $\int \frac{u^{5}}{49}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{5}}{7}\right)\, du = - \frac{\int u^{5}\, du}{7}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{6}}{42}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(6 - 7 x\right)^{6}}{42}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(6 - 7 x\right)^{5} = - 16807 x^{5} + 72030 x^{4} - 123480 x^{3} + 105840 x^{2} - 45360 x + 7776$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 16807 x^{5}\right)\, dx = - 16807 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{16807 x^{6}}{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 72030 x^{4}\, dx = 72030 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $14406 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 123480 x^{3}\right)\, dx = - 123480 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 30870 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 105840 x^{2}\, dx = 105840 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $35280 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 45360 x\right)\, dx = - 45360 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 22680 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 7776\, dx = 7776 x$

      Результат есть: $- \frac{16807 x^{6}}{6} + 14406 x^{5} - 30870 x^{4} + 35280 x^{3} - 22680 x^{2} + 7776 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(7 x - 6\right)^{6}}{42}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(7 x - 6\right)^{6}}{42}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\left(7 x - 6\right)^{6}}{42}+ \mathrm{constant}$