Интеграл (1-x)/x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u + 1}{u}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{u + 1}{u} = 1 + \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Результат есть: $u + \log{\left(u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x + \log{\left(- x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1 - x}{x} = -1 + \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

      Результат есть: $- x + \log{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + \log{\left(- x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x + \log{\left(- x \right)}+ \mathrm{constant}$