Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл exp(-x^2)
Интеграл x/(exp(x))
Интеграл e^(acos(x))
Интеграл cos(x)^(n)
График функции y =:
(1-x)/(2*x+1)
Производная:
(1-x)/(2*x+1)
Идентичные выражения
(один -x)/(два *x+ один)
(1 минус x) делить на (2 умножить на x плюс 1)
(один минус x) делить на (два умножить на x плюс один)
(1-x)/(2x+1)
1-x/2x+1
(1-x) разделить на (2*x+1)
(1-x)/(2*x+1)dx
Похожие выражения
(1+x)/(2*x+1)
(1-x)/(2*x-1)

Решение интегралов/ (1-x)/(2*x+1)

Интеграл (1-x)/(2*x+1) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |   1 - x    
 |  ------- dx
 |  2*x + 1   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{- x + 1}{2 x + 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = - x$ .
  
  Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \frac{u + 1}{2 u - 1}\, du$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{u + 1}{2 u - 1} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2 \cdot \left(2 u - 1\right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3}{2 \cdot \left(2 u - 1\right)}\, du = \frac{3 \int \frac{1}{2 u - 1}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(2 u - 1 \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \log{\left(2 u - 1 \right)}}{4}$
    Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{3 \log{\left(2 u - 1 \right)}}{4}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{x}{2} + \frac{3 \log{\left(- 2 x - 1 \right)}}{4}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{1 - x}{2 x + 1} = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2 \cdot \left(2 x + 1\right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx = - \frac{x}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3}{2 \cdot \left(2 x + 1\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = 2 x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$
  Результат есть: $- \frac{x}{2} + \frac{3 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{1 - x}{2 x + 1} = - \frac{x}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x + 1}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{x}{2 x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{2 x + 1}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{x}{2 x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot \left(2 x + 1\right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$
  1. пусть $u = 2 x + 1$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{1}{4 u}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$
  Результат есть: $- \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{x}{2} + \frac{3 \log{\left(- 2 x - 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{x}{2} + \frac{3 \log{\left(- 2 x - 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                    
 |                                     
 |  1 - x           x   3*log(-1 - 2*x)
 | ------- dx = C - - + ---------------
 | 2*x + 1          2          4       
 |                                     
/

$${{3\,\log \left(2\,x+1\right)}\over{4}}-{{x}\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

  1   3*log(3)
- - + --------
  2      4

$${{3\,\log 3-2}\over{4}}$$

  1   3*log(3)
- - + --------
  2      4

$$- \frac{1}{2} + \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{4}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.323959216501082

0.323959216501082

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (1-x)/(2*x+1) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3