Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sqrt(3*x)+1
Интеграл x^4/((16-x^2)*sqrt(16-x^2))
Интеграл (3-4*x)^4
Интеграл e^-3
Производная:
(1-cos(x))^3
Идентичные выражения
(один -cos(x))^ три
(1 минус косинус от (x)) в кубе
(один минус косинус от (x)) в степени три
(1-cos(x))3
1-cosx3
(1-cos(x))³
(1-cos(x)) в степени 3
1-cosx^3
(1-cos(x))^3dx
Похожие выражения
(1-cos(x))^(3/2)
(1+cos(x))^3
(1-cosx)^3

Решение интегралов/ (1-cos(x))^3

Интеграл (1-cos(x))^3 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                 
  /                 
 |                  
 |              3   
 |  (1 - cos(x))  dx
 |                  
/                   
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(- \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{3} = - \cos^{3}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} + 1$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$
    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
      
      Метод #2
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
      
      Метод #3
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \sin{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 3 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- 3 \sin{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Результат есть: $\frac{5 x}{2} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{3} = - \cos^{3}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} + 1$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$
    2. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \sin{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 3 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- 3 \sin{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Результат есть: $\frac{5 x}{2} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$
Теперь упростить:

$\frac{5 x}{2} - \frac{15 \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{12}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{5 x}{2} - \frac{15 \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{5 x}{2} - \frac{15 \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                            
 |                                      3                      
 |             3                     sin (x)   3*sin(2*x)   5*x
 | (1 - cos(x))  dx = C - 4*sin(x) + ------- + ---------- + ---
 |                                      3          4         2 
/

$${{3\,\left({{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}+x\right)}\over{2}}+{{ \sin ^3x}\over{3}}-4\,\sin x+x$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                    3           2           2                                      
               2*sin (1)   3*cos (1)   3*sin (1)      2             3*cos(1)*sin(1)
1 - 3*sin(1) - --------- + --------- + --------- - cos (1)*sin(1) + ---------------
                   3           2           2                               2

$${{3\,\sin 2+6}\over{4}}+{{\sin ^31}\over{3}}-4\,\sin 1+1$$

                    3           2           2                                      
               2*sin (1)   3*cos (1)   3*sin (1)      2             3*cos(1)*sin(1)
1 - 3*sin(1) - --------- + --------- + --------- - cos (1)*sin(1) + ---------------
                   3           2           2                               2

$$- 3 \sin{\left(1 \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + 1 + \frac{3 \sin^{2}{\left(1 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0146968764179938

0.0146968764179938

График

$Интеграл (1-cos(x))^3 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (1-cos(x))^3 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #2