Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Решение интегралов/ 1/(x^4-1)

Интеграл 1/(x^4-1) d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ dx
 |     4       
 |    x  - 1   
 |             
/              
0
∫011⋅1x4−1 dx\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1}\, dx
Упростить
Подробное решение

  1. Перепишите подынтегральное выражение:

    1⋅1x4−1=−12(x2+1)−14(x+1)+14(x−1)1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1} = - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}

  2. Интегрируем почленно:

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫(−12(x2+1)) dx=−∫1x2+1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

      1. Интеграл 1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1} есть atan⁡(x)\operatorname{atan}{\left(x \right)}.

      Таким образом, результат будет: −atan⁡(x)2- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫(−14(x+1)) dx=−∫1x+1 dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{4}

      1. пусть u=x+1u = x + 1.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

      Таким образом, результат будет: −log⁡(x+1)4- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫14(x−1) dx=∫1x−1 dx4\int \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{4}

      1. пусть u=x−1u = x - 1.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

      Таким образом, результат будет: log⁡(x−1)4\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4}

    Результат есть: log⁡(x−1)4−log⁡(x+1)4−atan⁡(x)2\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}

  3. Добавляем постоянную интегрирования:

    log⁡(x−1)4−log⁡(x+1)4−atan⁡(x)2+constant\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Ответ:

log⁡(x−1)4−log⁡(x+1)4−atan⁡(x)2+constant\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Ответ (Неопределённый) [src] 
  /                                                    
 |                                                     
 |     1             atan(x)   log(1 + x)   log(-1 + x)
 | 1*------ dx = C - ------- - ---------- + -----------
 |    4                 2          4             4     
 |   x  - 1                                            
 |                                                     
/
−log⁡(x+1)4−arctan⁡x2+log⁡(x−1)4-{{\log \left(x+1\right)}\over{4}}-{{\arctan x}\over{2}}+{{\log \left(x-1\right)}\over{4}}
Упростить
Ответ [src] 
      pi*I
-oo - ----
       4
%a{\it \%a} 
=
= 
      pi*I
-oo - ----
       4
−∞−iπ4-\infty - \frac{i \pi}{4}
Упростить
Численный ответ [src] 
-11.5887250733929
-11.5887250733929

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

    © Господин Экзамен – Калькулятор