Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^5*e^x
-
4*x^2-6*x-7
-
x*((|x-2|))
-
7*x^4-5*x^3-x+25
- Интеграл d{x}:
- 1/(x^4-1)
- Производная:
-
1/(x^4-1)
-
Идентичные выражения
- один /(x^ четыре - один)
- 1 делить на (x в степени 4 минус 1)
- один делить на (x в степени четыре минус один)
- 1/(x4-1)
- 1/x4-1
- 1/(x⁴-1)
- 1/x^4-1
- 1 разделить на (x^4-1)
-
Похожие выражения
- (2*x^4+1)/(x^4-16)
- 1/(x^4+1)
График функции y = 1/(x^4-1)
Решение
Вы ввели
[src]
1
f(x) = 1*------
4
x - 1
$$f{\left(x \right)} = 1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1}$$
f = 1/(x^4 - 1*1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 x^{2} \cdot \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{4 x^{2} \cdot \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 x^{2} \cdot \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x^{2} \cdot \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x^{2} \cdot \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 x^{2} \cdot \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{4 x^{2} \cdot \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 x^{2} \cdot \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x^{2} \cdot \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x^{2} \cdot \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(x^4 - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{4} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{4} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{4} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{4} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1} = 1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1}$$
- Да
$$1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1} = - \frac{1}{x^{4} - 1}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1} = 1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1}$$
- Да
$$1 \cdot \frac{1}{x^{4} - 1} = - \frac{1}{x^{4} - 1}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График