Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (sin(x/4)+cos(x/4))^2
Интеграл cos(2*pi*x/3)
Интеграл y*sin(y)
Интеграл 1/(x^2+6*x+13)
Производная:
1/((x+1)*(x-1))
Идентичные выражения
один /((x+ один)*(x- один))
1 делить на ((x плюс 1) умножить на (x минус 1))
один делить на ((x плюс один) умножить на (x минус один))
1/((x+1)(x-1))
1/x+1x-1
1 разделить на ((x+1)*(x-1))
1/((x+1)*(x-1))dx
Похожие выражения
1/((x+1)*(x+1))
1/((x+1)*(x-1)^2)
1/((x-1)*(x-1))

Интеграл 1/((x+1)*(x-1)) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                     
  /                     
 |                      
 |           1          
 |  1*--------------- dx
 |    (x + 1)*(x - 1)   
 |                      
/                       
0

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $1 \cdot \frac{1}{\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$
  Результат есть: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $1 \cdot \frac{1}{\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)} = \frac{1}{x^{2} - 1}$
2. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}}{2}$
3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}}{2}\, dx = \frac{\int \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right)\, dx}{2}$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл $\frac{1}{x - 1}$ есть $\log{\left(x - 1 \right)}$ .
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x + 1}$ есть $\log{\left(x + 1 \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 1 \right)}$
    Результат есть: $\log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                   
 |                                                    
 |          1                 log(-1 + x)   log(1 + x)
 | 1*--------------- dx = C + ----------- - ----------
 |   (x + 1)*(x - 1)               2            2     
 |                                                    
/

$${{\log \left(x-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(x+1\right)}\over{2}}$$

Упростить

Ответ [src]

      pi*I
-oo - ----
       2

$${\it \%a}$$

      pi*I
-oo - ----
       2

$$-\infty - \frac{i \pi}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-22.3920519833897

-22.3920519833897

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл 1/((x+1)*(x-1)) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2