Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 1/cosh(x)
Интеграл 1/(sqrt(x^2+1))
Интеграл 1/(x*sqrt(1-log(x)^(2)))
Интеграл (x^2)*sin(2*x)
Идентичные выражения
один /((один /x)^ два - один)
1 делить на ((1 делить на x) в квадрате минус 1)
один делить на ((один делить на x) в степени два минус один)
1/((1/x)2-1)
1/1/x2-1
1/((1/x)²-1)
1/((1/x) в степени 2-1)
1/1/x^2-1
1 разделить на ((1 разделить на x)^2-1)
1/((1/x)^2-1)dx
Похожие выражения
1/((1/x)^2+1)

Интеграл 1/((1/x)^2-1) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                
  /                
 |                 
 |        1        
 |  1*---------- dx
 |         2       
 |    /  1\        
 |    |1*-|  - 1   
 |    \  x/        
 |                 
/                  
0

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\left(1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} - 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $1 \cdot \frac{1}{\left(1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} - 1} = -1 + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \left(-1\right)\, dx = - x$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$
  Результат есть: $- x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $1 \cdot \frac{1}{\left(1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} - 1} = - \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, dx = x$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$
    Результат есть: $x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  Таким образом, результат будет: $- x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                  
 |                                                   
 |       1               log(1 + x)       log(-1 + x)
 | 1*---------- dx = C + ---------- - x - -----------
 |        2                  2                 2     
 |   /  1\                                           
 |   |1*-|  - 1                                      
 |   \  x/                                           
 |                                                   
/

$${{\log \left(x+1\right)}\over{2}}-x-{{\log \left(x-1\right)}\over{2 }}$$

Упростить

Ответ [src]

     pi*I
oo + ----
      2

$${\it \%a}$$

     pi*I
oo + ----
      2

$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

21.3920168525465

21.3920168525465

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл 1/((1/x)^2-1) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2