Интеграл 1/cos(x)^(6) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |       1      
 |  1*------- dx
 |       6      
 |    cos (x)   
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\cos^{6}{\left(x \right)}}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sec^{6}{\left(x \right)} = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left(x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \tan{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{4}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \tan{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$
  Результат есть: $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \tan{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{4}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \tan{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$
  Результат есть: $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                               
 |                       5           3            
 |      1             tan (x)   2*tan (x)         
 | 1*------- dx = C + ------- + --------- + tan(x)
 |      6                5          3             
 |   cos (x)                                      
 |                                                
/

$${{\tan ^5x}\over{5}}+{{2\,\tan ^3x}\over{3}}+\tan x$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

  sin(1)     4*sin(1)     8*sin(1)
--------- + ---------- + ---------
     5            3      15*cos(1)
5*cos (1)   15*cos (1)

$${{\tan ^51}\over{5}}+{{2\,\tan ^31}\over{3}}+\tan 1$$

  sin(1)     4*sin(1)     8*sin(1)
--------- + ---------- + ---------
     5            3      15*cos(1)
5*cos (1)   15*cos (1)

$$\frac{8 \sin{\left(1 \right)}}{15 \cos{\left(1 \right)}} + \frac{4 \sin{\left(1 \right)}}{15 \cos^{3}{\left(1 \right)}} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{5 \cos^{5}{\left(1 \right)}}$$

Упростить

Численный ответ [src]

5.90824557562449

5.90824557562449

График

$Интеграл 1/cos(x)^(6) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл 1/cos(x)^(6) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2