Господин Экзамен

Другие калькуляторы


1/cos(2*x)

Интеграл 1/cos(2*x) d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
  1              
  /              
 |               
 |       1       
 |  1*-------- dx
 |    cos(2*x)   
 |               
/                
0                
$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\, dx$$
Подробное решение
Дан интеграл:
  /               
 |                
 |        1       
 | 1*1*-------- dx
 |     cos(2*x)   
 |                
/                 
Подинтегральная функция
     1    
1*--------
  cos(2*x)
Домножим числитель и знаменатель на
cos(2*x)
получим
     1       1*cos(2*x)
1*-------- = ----------
  cos(2*x)      2      
             cos (2*x) 
Т.к.
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
то
   2               2     
cos (2*x) = 1 - sin (2*x)
преобразуем знаменатель
1*cos(2*x)     1*cos(2*x) 
---------- = -------------
   2                2     
cos (2*x)    1 - sin (2*x)
сделаем замену
u = sin(2*x)
тогда интеграл
  /                  
 |                   
 |   1*cos(2*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (2*x)     
 |                   
/                    
  
  /                  
 |                   
 |   1*cos(2*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (2*x)     
 |                   
/                    
  
Т.к. du = 2*dx*cos(2*x)
  /             
 |              
 |     1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 2*\1 - u /   
 |              
/               
Перепишем подинтегральную функцию
    1        1*1/2 /  1       1  \
---------- = -----*|----- + -----|
  /     2\     2   \1 - u   1 + u/
2*\1 - u /                        
тогда
                     /             /          
                    |             |           
                    |   1         |   1       
                    | ----- du    | ----- du  
  /                 | 1 + u       | 1 - u     
 |                  |             |           
 |     1           /             /           =
 | ---------- du = ----------- + -----------  
 |   /     2\           4             4       
 | 2*\1 - u /                                 
 |                                            
/                                             
  
= -log(-1 + u)/4 + log(1 + u)/4
делаем обратную замену
u = sin(2*x)
Ответ
  /                                                               
 |                                                                
 |        1            log(-1 + sin(2*x))   log(1 + sin(2*x))     
 | 1*1*-------- dx = - ------------------ + ----------------- + C0
 |     cos(2*x)                4                    4             
 |                                                                
/                                                                 
где C0 - это постоянная, не зависящая от x
Ответ (Неопределённый) [src]
  /                                                          
 |                                                           
 |      1              log(-1 + sin(2*x))   log(1 + sin(2*x))
 | 1*-------- dx = C - ------------------ + -----------------
 |   cos(2*x)                  4                    4        
 |                                                           
/                                                            
$${{{{\log \left(\sin \left(2\,x\right)+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\sin \left(2\,x\right)-1\right)}\over{2}}}\over{2}}$$
График
Ответ [src]
nan
$${{\log \left(\sin 2+1\right)}\over{4}}-{{\log \left(1-\sin 2\right) }\over{4}}$$
=
=
nan
$$\text{NaN}$$
Численный ответ [src]
-0.637807798738107
-0.637807798738107
График
Интеграл 1/cos(2*x) d{x}

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.