Интеграл -log(x) d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x \right)}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Таким образом, результат будет: $- x \log{\left(x \right)} + x$

2. Теперь упростить:

   $x \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$