Интеграл (log(x+1))^2 d{x}

1. пусть $u = \log{\left(x + 1 \right)}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{x + 1}$ и подставим $du$:

   $\int u^{2} e^{u}\, du$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = 2 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $2 x + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}^{2} - 2 \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} + 2$

2. Теперь упростить:

   $2 x + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}^{2} - 2 \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} + 2$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 x + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}^{2} - 2 \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} + 2+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 x + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}^{2} - 2 \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} + 2+ \mathrm{constant}$