Интеграл log(x-1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x - 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \log{\left(u \right)}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} + 1$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x - 1 \right)}$

      Результат есть: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$

2. Теперь упростить:

   $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} + 1$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} + 1+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x + \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)} + 1+ \mathrm{constant}$