Господин Экзамен

Другие калькуляторы


cos(x)^(6)*dx

Интеграл cos(x)^(6)*dx d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
  1             
  /             
 |              
 |     6        
 |  cos (x)*1 dx
 |              
/               
0               
$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{6}{\left(x \right)} 1\, dx$$
Подробное решение
  1. Перепишите подынтегральное выражение:

  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

    Метод #1

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл есть когда :

                Таким образом, результат будет:

              Результат есть:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Метод #2

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл есть когда :

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Результат есть:

          Метод #3

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл есть когда :

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Результат есть:

    Метод #2

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть когда :

              Таким образом, результат будет:

            Результат есть:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Результат есть:

  3. Добавляем постоянную интегрирования:


Ответ:

Ответ (Неопределённый) [src]
  /                                                          
 |                       3                                   
 |    6               sin (2*x)   sin(2*x)   3*sin(4*x)   5*x
 | cos (x)*1 dx = C - --------- + -------- + ---------- + ---
 |                        48         4           64        16
/                                                            
$${{{{3\,\left({{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+2\,x\right)}\over{ 16}}+{{\sin \left(2\,x\right)-{{\sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}} }\over{8}}+{{3\,\sin \left(2\,x\right)}\over{8}}+{{x}\over{4}} }\over{2}}$$
График
Ответ [src]
        5                                    3          
5    cos (1)*sin(1)   5*cos(1)*sin(1)   5*cos (1)*sin(1)
-- + -------------- + --------------- + ----------------
16         6                 16                24       
$${{9\,\sin 4-4\,\sin ^32+48\,\sin 2+60}\over{192}}$$
=
=
        5                                    3          
5    cos (1)*sin(1)   5*cos(1)*sin(1)   5*cos (1)*sin(1)
-- + -------------- + --------------- + ----------------
16         6                 16                24       
$$\frac{\sin{\left(1 \right)} \cos^{5}{\left(1 \right)}}{6} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)}}{24} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{16} + \frac{5}{16}$$
Численный ответ [src]
0.488686178391591
0.488686178391591
График
Интеграл cos(x)^(6)*dx d{x}

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.