Интеграл (cos(x/2))^2 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

   Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$