Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 1/sqrt(4-x^2)
Интеграл (cos(2*x))^4
Интеграл 1/(1+cos(x)^(2))
Интеграл cos(x)^2*sin(x)^4
Идентичные выражения
(один + два *cos(x/ два))^ два
(1 плюс 2 умножить на косинус от (x делить на 2)) в квадрате
(один плюс два умножить на косинус от (x делить на два)) в степени два
(1+2*cos(x/2))2
1+2*cosx/22
(1+2*cos(x/2))²
(1+2*cos(x/2)) в степени 2
(1+2cos(x/2))^2
(1+2cos(x/2))2
1+2cosx/22
1+2cosx/2^2
(1+2*cos(x разделить на 2))^2
(1+2*cos(x/2))^2dx
Похожие выражения
(1-2*cos(x/2))^2

Решение интегралов/ (1+2*cos(x/2))^2

Интеграл (1+2*cos(x/2))^2 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                   
  /                   
 |                    
 |                2   
 |  /         /x\\    
 |  |1 + 2*cos|-||  dx
 |  \         \2//    
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2} = 4 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 4 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $2 x + 2 \sin{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Результат есть: $3 x + 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2} = 4 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 4 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $2 x + 2 \sin{\left(x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Результат есть: $3 x + 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$3 x + 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$3 x + 8 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                  
 |                                                   
 |               2                                   
 | /         /x\\                                 /x\
 | |1 + 2*cos|-||  dx = C + 2*sin(x) + 3*x + 8*sin|-|
 | \         \2//                                 \2/
 |                                                   
/

$$4\,\left({{\sin x}\over{2}}+{{x}\over{2}}\right)+x+8\,\sin \left({{ x}\over{2}}\right)$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

         2             2                                        
1 + 2*cos (1/2) + 2*sin (1/2) + 8*sin(1/2) + 4*cos(1/2)*sin(1/2)

$$2\,\left(\sin 1+4\,\sin \left({{1}\over{2}}\right)+{{3}\over{2}} \right)$$

         2             2                                        
1 + 2*cos (1/2) + 2*sin (1/2) + 8*sin(1/2) + 4*cos(1/2)*sin(1/2)

$$2 \sin^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 + 2 \cos^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + 8 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}$$

Упростить

Численный ответ [src]

8.51834627844942

8.51834627844942

График

$Интеграл (1+2*cos(x/2))^2 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (1+2*cos(x/2))^2 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2