Интеграл e^(t)*sin(t) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |   t          
 |  e *sin(t) dt
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} e^{t} \sin{\left(t \right)}\, dt$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.
1. Для подинтегрального выражения $e^{t} \sin{\left(t \right)}$ :
  
  пусть $u{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$ .
  
  Затем $\int e^{t} \sin{\left(t \right)}\, dt = e^{t} \sin{\left(t \right)} - \int e^{t} \cos{\left(t \right)}\, dt$ .
2. Для подинтегрального выражения $e^{t} \cos{\left(t \right)}$ :
  
  пусть $u{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$ .
  
  Затем $\int e^{t} \sin{\left(t \right)}\, dt = e^{t} \sin{\left(t \right)} - e^{t} \cos{\left(t \right)} + \int \left(- e^{t} \sin{\left(t \right)}\right)\, dt$ .
3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:
  
  $2 \int e^{t} \sin{\left(t \right)}\, dt = e^{t} \sin{\left(t \right)} - e^{t} \cos{\left(t \right)}$
  
  Поэтому,
  
  $\int e^{t} \sin{\left(t \right)}\, dt = \frac{e^{t} \sin{\left(t \right)}}{2} - \frac{e^{t} \cos{\left(t \right)}}{2}$
Теперь упростить:

$- \frac{\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                        
 |                     t                  t
 |  t                 e *sin(t)   cos(t)*e 
 | e *sin(t) dt = C + --------- - ---------
 |                        2           2    
/

$${{e^{t}\,\left(\sin t-\cos t\right)}\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

1   e*sin(1)   e*cos(1)
- + -------- - --------
2      2          2

$${{e\,\sin 1-e\,\cos 1}\over{2}}+{{1}\over{2}}$$

1   e*sin(1)   e*cos(1)
- + -------- - --------
2      2          2

$$- \frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.909330673631479

0.909330673631479

График

$Интеграл e^(t)*sin(t) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл e^(t)*sin(t) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение