Интеграл e^(-x)*sin(x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1              
  /              
 |               
 |   -x          
 |  e  *sin(x) dx
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.
1. Для подинтегрального выражения $e^{- x} \sin{\left(x \right)}$ :
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$ .
  
  Затем $\int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \int \left(- e^{- x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx - e^{- x} \sin{\left(x \right)}$ .
2. Для подинтегрального выражения $- e^{- x} \cos{\left(x \right)}$ :
  
  пусть $u{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$ .
  
  Затем $\int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx - e^{- x} \sin{\left(x \right)} - e^{- x} \cos{\left(x \right)}$ .
3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:
  
  $2 \int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - e^{- x} \sin{\left(x \right)} - e^{- x} \cos{\left(x \right)}$
  
  Поэтому,
  
  $\int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
Теперь упростить:

$- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                           
 |                             -x    -x       
 |  -x                 cos(x)*e     e  *sin(x)
 | e  *sin(x) dx = C - ---------- - ----------
 |                         2            2     
/

$${{e^ {- x }\,\left(-\sin x-\cos x\right)}\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

            -1    -1       
1   cos(1)*e     e  *sin(1)
- - ---------- - ----------
2       2            2

$${{1}\over{2}}-{{e^ {- 1 }\,\left(\sin 1+\cos 1\right)}\over{2}}$$

            -1    -1       
1   cos(1)*e     e  *sin(1)
- - ---------- - ----------
2       2            2

$$- \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2 e} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2 e} + \frac{1}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.245837007000237

0.245837007000237

График

$Интеграл e^(-x)*sin(x) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл e^(-x)*sin(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение