Интеграл e^x*sin(x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |   x          
 |  e *sin(x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.
1. Для подинтегрального выражения $e^{x} \sin{\left(x \right)}$ :
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
  
  Затем $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx$ .
2. Для подинтегрального выражения $e^{x} \cos{\left(x \right)}$ :
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$ .
  
  Затем $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$ .
3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:
  
  $2 \int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}$
  
  Поэтому,
  
  $\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}$
Теперь упростить:

$- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                        
 |                     x                  x
 |  x                 e *sin(x)   cos(x)*e 
 | e *sin(x) dx = C + --------- - ---------
 |                        2           2    
/

$${{e^{x}\,\left(\sin x-\cos x\right)}\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

1   e*sin(1)   e*cos(1)
- + -------- - --------
2      2          2

$${{e\,\sin 1-e\,\cos 1}\over{2}}+{{1}\over{2}}$$

1   e*sin(1)   e*cos(1)
- + -------- - --------
2      2          2

$$- \frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{e \sin{\left(1 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.909330673631479

0.909330673631479

График

$Интеграл e^x*sin(x) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл e^x*sin(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение