Производная e^(-x)*sin(x)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(- e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}$

2. Теперь упростим:

   $\sqrt{2} e^{- x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

Ответ:

$\sqrt{2} e^{- x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$