Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^2-9/x
-
x^2+2*x-24
-
3*sin(x)/2
-
x^2-8*x+16/4-x
- Производная:
-
e^(-x)*sin(x)
- Интеграл d{x}:
-
e^(-x)*sin(x)
-
Идентичные выражения
- e^(-x)*sin(x)
- e в степени ( минус x) умножить на синус от (x)
- e(-x)*sin(x)
- e-x*sinx
- e^(-x)sin(x)
- e(-x)sin(x)
- e-xsinx
- e^-xsinx
-
Похожие выражения
- e^(x)*sin(x)
- e^(-x)*sinx
График функции y = e^(-x)*sin(x)
Решение
Вы ввели
[src]
-x f(x) = e *sin(x)
$$f{\left(x \right)} = e^{- x} \sin{\left(x \right)}$$
f = sin(x)/E^x
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{- x} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -21.9911485751286$$
$$x_{2} = 28.2743338823081$$
$$x_{3} = -28.2743338823081$$
$$x_{4} = 81.6814089933346$$
$$x_{5} = 37.6991118430775$$
$$x_{6} = 56.5486677646163$$
$$x_{7} = 84.8230016469244$$
$$x_{8} = -34.5575191894877$$
$$x_{9} = 47.1238898038469$$
$$x_{10} = 25.1327412287183$$
$$x_{11} = 78.5398163397448$$
$$x_{12} = 69.1150383789755$$
$$x_{13} = 75.398223686155$$
$$x_{14} = 53.4070751110265$$
$$x_{15} = 21.9911485751286$$
$$x_{16} = -15.707963267949$$
$$x_{17} = -18.8495559215388$$
$$x_{18} = 72.2566310325652$$
$$x_{19} = -31.4159265358979$$
$$x_{20} = 50.2654824574367$$
$$x_{21} = 62.8318530717959$$
$$x_{22} = 0$$
$$x_{23} = 9.42477796076938$$
$$x_{24} = 87.9645943005142$$
$$x_{25} = 106.814150222053$$
$$x_{26} = 3.14159265358979$$
$$x_{27} = -12.5663706143592$$
$$x_{28} = 97.3893722612836$$
$$x_{29} = -25.1327412287183$$
$$x_{30} = 18.8495559215388$$
$$x_{31} = 40.8407044966673$$
$$x_{32} = 65.9734457253857$$
$$x_{33} = 31.4159265358979$$
$$x_{34} = 15.707963267949$$
$$x_{35} = -3.14159265358979$$
$$x_{36} = 94.2477796076938$$
$$x_{37} = -9.42477796076938$$
$$x_{38} = 43.9822971502571$$
$$x_{39} = 59.6902604182061$$
$$x_{40} = 34.5575191894877$$
$$x_{41} = 6.28318530717959$$
$$x_{42} = 91.106186954104$$
$$x_{43} = 100.530964914873$$
$$x_{44} = -6.28318530717959$$
$$x_{45} = 12.5663706143592$$
значит надо решить уравнение:
$$e^{- x} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -21.9911485751286$$
$$x_{2} = 28.2743338823081$$
$$x_{3} = -28.2743338823081$$
$$x_{4} = 81.6814089933346$$
$$x_{5} = 37.6991118430775$$
$$x_{6} = 56.5486677646163$$
$$x_{7} = 84.8230016469244$$
$$x_{8} = -34.5575191894877$$
$$x_{9} = 47.1238898038469$$
$$x_{10} = 25.1327412287183$$
$$x_{11} = 78.5398163397448$$
$$x_{12} = 69.1150383789755$$
$$x_{13} = 75.398223686155$$
$$x_{14} = 53.4070751110265$$
$$x_{15} = 21.9911485751286$$
$$x_{16} = -15.707963267949$$
$$x_{17} = -18.8495559215388$$
$$x_{18} = 72.2566310325652$$
$$x_{19} = -31.4159265358979$$
$$x_{20} = 50.2654824574367$$
$$x_{21} = 62.8318530717959$$
$$x_{22} = 0$$
$$x_{23} = 9.42477796076938$$
$$x_{24} = 87.9645943005142$$
$$x_{25} = 106.814150222053$$
$$x_{26} = 3.14159265358979$$
$$x_{27} = -12.5663706143592$$
$$x_{28} = 97.3893722612836$$
$$x_{29} = -25.1327412287183$$
$$x_{30} = 18.8495559215388$$
$$x_{31} = 40.8407044966673$$
$$x_{32} = 65.9734457253857$$
$$x_{33} = 31.4159265358979$$
$$x_{34} = 15.707963267949$$
$$x_{35} = -3.14159265358979$$
$$x_{36} = 94.2477796076938$$
$$x_{37} = -9.42477796076938$$
$$x_{38} = 43.9822971502571$$
$$x_{39} = 59.6902604182061$$
$$x_{40} = 34.5575191894877$$
$$x_{41} = 6.28318530717959$$
$$x_{42} = 91.106186954104$$
$$x_{43} = 100.530964914873$$
$$x_{44} = -6.28318530717959$$
$$x_{45} = 12.5663706143592$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- e^{- x} \sin{\left(x \right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- e^{- x} \sin{\left(x \right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
-pi
----
___ 4
pi \/ 2 *e
(--, -----------)
4 2 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 e^{- x} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 e^{- x} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/E^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{- x} \sin{\left(x \right)} = - e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
$$e^{- x} \sin{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$e^{- x} \sin{\left(x \right)} = - e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
$$e^{- x} \sin{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График