Интеграл e^(-x)*cos(pi*x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \pi \sin{\left(\pi x \right)}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Метод #2

      1. пусть $u = e^{- x}$.

         Тогда пусть $du = - e^{- x} dx$ и подставим $- du$:

         $\int 1\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(-1\right)\, du = - \int 1\, du$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $- u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \pi e^{- x} \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = \pi \int e^{- x} \sin{\left(\pi x \right)}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \pi \cos{\left(\pi x \right)}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \pi e^{- x} \cos{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - \pi \int e^{- x} \cos{\left(\pi x \right)}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\frac{\pi \sin{\left(\pi x \right)}}{e^{x} + \pi^{2} e^{x}} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{e^{x} + \pi^{2} e^{x}}$

      Таким образом, результат будет: $- \pi \left(\frac{\pi \sin{\left(\pi x \right)}}{e^{x} + \pi^{2} e^{x}} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{e^{x} + \pi^{2} e^{x}}\right)$

   Таким образом, результат будет: $\pi \left(\pi \left(\frac{\pi \sin{\left(\pi x \right)}}{e^{x} + \pi^{2} e^{x}} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{e^{x} + \pi^{2} e^{x}}\right) - e^{- x} \sin{\left(\pi x \right)}\right)$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(\pi \sin{\left(\pi x \right)} - \cos{\left(\pi x \right)}\right) e^{- x}}{1 + \pi^{2}}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(\pi \sin{\left(\pi x \right)} - \cos{\left(\pi x \right)}\right) e^{- x}}{1 + \pi^{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(\pi \sin{\left(\pi x \right)} - \cos{\left(\pi x \right)}\right) e^{- x}}{1 + \pi^{2}}+ \mathrm{constant}$