Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (3*x^5+7/2*sqrt(x))
Интеграл sin(x)^8
Интеграл (x^3-17)/(x^2-4*x+3)
Интеграл 1/(sqrt((x-a)*(b-x)))
Идентичные выражения
((sin(x))^ два)*((cos(x))^ четыре)
(( синус от (x)) в квадрате ) умножить на (( косинус от (x)) в степени 4)
(( синус от (x)) в степени два) умножить на (( косинус от (x)) в степени четыре)
((sin(x))2)*((cos(x))4)
sinx2*cosx4
((sin(x))²)*((cos(x))⁴)
((sin(x)) в степени 2)*((cos(x)) в степени 4)
((sin(x))^2)((cos(x))^4)
((sin(x))2)((cos(x))4)
sinx2cosx4
sinx^2cosx^4
((sin(x))^2)*((cos(x))^4)dx
Похожие выражения
sin(x)^2*cos(x)^4
(sin(x)^2)*(cos(x)^4)
(sin(x)^(2))*(cos(x)^(4))
1/(sin(x)^(2)*cos(x)^(4))
sin(x)^(2)*cos(x)^(4)
((sinx)^2)*((cosx)^4)

Решение интегралов/ ((sin(x))^2)*((cos(x))^4)

Интеграл ((sin(x))^2)*((cos(x))^4) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                   
  /                   
 |                    
 |     2       4      
 |  sin (x)*cos (x) dx
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = 2 x$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$
    Результат есть: $\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} + \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
    2. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  Результат есть: $\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
    2. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  Результат есть: $\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                  
 |                                             3     
 |    2       4             sin(4*x)   x    sin (2*x)
 | sin (x)*cos (x) dx = C - -------- + -- + ---------
 |                             64      16       48   
/

$${{{{2\,x-{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}}\over{4}}+{{\sin ^3 \left(2\,x\right)}\over{6}}}\over{8}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

        5                                3          
1    cos (1)*sin(1)   cos(1)*sin(1)   cos (1)*sin(1)
-- - -------------- + ------------- + --------------
16         6                16              24

$$-{{3\,\sin 4-4\,\sin ^32-12}\over{192}}$$

        5                                3          
1    cos (1)*sin(1)   cos(1)*sin(1)   cos (1)*sin(1)
-- - -------------- + ------------- + --------------
16         6                16              24

$$- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos^{5}{\left(1 \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{16} + \frac{1}{16}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0899881003364571

0.0899881003364571

График

$Интеграл ((sin(x))^2)*((cos(x))^4) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл ((sin(x))^2)*((cos(x))^4) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3