Интеграл exp(-x)*x^2 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{2} e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = 2 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{- x}$.

            Тогда пусть $du = - e^{- x} dx$ и подставим $- du$:

            $\int 1\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(-1\right)\, du = - \int 1\, du$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $- u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = - 2 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 e^{- x}\, dx = 2 \int e^{- x}\, dx$

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 e^{- x}$

2. Теперь упростить:

   $\left(- x^{2} - 2 x - 2\right) e^{- x}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(- x^{2} - 2 x - 2\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\left(- x^{2} - 2 x - 2\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$