Интеграл exp(2*x)/(exp(x)+1) d{x}

1. пусть $u = e^{x}$.

   Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

   $\int \frac{u}{u + 1}\, du$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

         1. пусть $u = u + 1$.

            Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(u + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

      Результат есть: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$