Интеграл dx/x*(log(x)^(2)-36) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $du$:

      $\int \frac{36 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du$

      1. пусть $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{du}{u}$ и подставим $du$:

         $\int \left(u^{2} - 36\right)\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \left(-36\right)\, du = - 36 u$

            Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - 36 u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} - 36 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} - 36 \log{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 36\right) = \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} - \frac{36}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du$

            1. пусть $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \frac{du}{u}$ и подставим $- du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{36}{x}\right)\, dx = - 36 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- 36 \log{\left(x \right)}$

      Результат есть: $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} - 36 \log{\left(x \right)}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 108\right) \log{\left(x \right)}}{3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 108\right) \log{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 108\right) \log{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$