Интеграл dx/e^x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{e^{x}}$.

      Тогда пусть $du = - e^{- x} dx$ и подставим $- du$:

      $\int 1\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(-1\right)\, du = - \int 1\, du$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- e^{- x}$

   Метод #2

   1. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- e^{- x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- e^{- x}+ \mathrm{constant}$